71. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и ВС, угол АВО равен 55°. Найдите величину угла ODC.

Дано: Окружность с центром в точке O, AD и BC - диаметры, ∠ABO = 55°.

Найти: ∠ODC.

Решение:

1. Так как AD и BC - диаметры, то AO = BO = CO = DO (как радиусы окружности).
2. Рассмотрим треугольник ABO. Он равнобедренный, так как AO = BO. Значит, ∠BAO = ∠ABO = 55°.
3. ∠AOB и ∠COD - вертикальные углы, следовательно, они равны: ∠COD = ∠AOB.
4. Найдем ∠AOB. Сумма углов треугольника ABO равна 180°, поэтому ∠AOB = 180° - ∠ABO - ∠BAO = 180° - 55° - 55° = 70°.
5. Следовательно, ∠COD = 70°.
6. Рассмотрим треугольник COD. Он равнобедренный, так как CO = DO. Значит, ∠OCD = ∠ODC.
7. Сумма углов треугольника COD равна 180°, поэтому ∠OCD + ∠ODC + ∠COD = 180°. Так как ∠OCD = ∠ODC, то 2 * ∠ODC + ∠COD = 180°.
8. Выразим ∠ODC: 2 * ∠ODC = 180° - ∠COD = 180° - 70° = 110°.
9. ∠ODC = 110° / 2 = 55°.

Ответ: 55°