В3. Основание пирамиды RABC — треугольник ABC, в котором ∠C = 90°, ∠B = 30°. Ребро AR перпендикулярно к плоскости основания пирамиды и равно 8, а ребро BR образует с плоскостью основания угол 45°. Через середину ребра BR проведена плоскость параллельно плоскости основания пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, отсеченной этой плоскостью.

Пусть плоскость, параллельная основанию, пересекает ребро BR в точке M. Тогда $$BM = \frac{1}{2}BR$$.

Из $$\triangle ABR$$ следует, что $$\angle BRA = 45°$$, так как AR перпендикулярно основанию. Тогда $$\triangle ABR$$ - прямоугольный и равнобедренный, следовательно, AR = AB = 8.

В $$\triangle ABC$$ известна сторона AB и угол B. Тогда $$AC = AB \cdot sin(B) = 8 \cdot sin(30°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$.

$$BC = AB \cdot cos(B) = 8 \cdot cos(30°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$.

Площадь $$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$.

Так как сечение проходит через середину ребра BR, то все стороны отсеченной пирамиды в два раза меньше соответствующих сторон исходной пирамиды.

Тогда площадь основания отсеченной пирамиды равна $$\frac{1}{4}$$ площади основания исходной пирамиды, то есть $$2\sqrt{3}$$.

Площадь боковой поверхности пирамиды RABC складывается из площадей $$\triangle ARC$$ и $$\triangle BCR$$.

Площадь $$\triangle ARC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AR = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$$.

Так как $$\triangle ABR$$ прямоугольный и равнобедренный, то $$BR = AB \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$.

Площадь $$\triangle BCR = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BR \cdot sin(45°) = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{3}$$.

Площадь боковой поверхности пирамиды RABC равна $$16 + 16\sqrt{3}$$.

Площадь боковой поверхности отсеченной пирамиды будет в 4 раза меньше, то есть $$4 + 4\sqrt{3}$$.

Ответ: $$4 + 4\sqrt{3}$$