В1. Высота правильной треугольной пирамиды KLMN и сторона основания равны 5 и 7 соответственно. Найдите тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Пусть O - центр основания пирамиды. OT - радиус описанной окружности около основания.

Так как основание - правильный треугольник со стороной 7, то $$OT = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KOT. В нём $$KT = \sqrt{KO^2 + OT^2} = \sqrt{5^2 + (\frac{7}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{25 + \frac{49}{3}} = \sqrt{\frac{75+49}{3}} = \sqrt{\frac{124}{3}} = 2\sqrt{\frac{31}{3}}$$.

Тангенс угла между боковым ребром KT и плоскостью основания равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть

$$tg(\angle KTO) = \frac{KO}{OT} = \frac{5}{\frac{7}{\sqrt{3}}} = \frac{5\sqrt{3}}{7}$$.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{3}}{7}$$