В3. Основание пирамиды RABC — треугольник АВС, в котором ∠C = 90°, ∠B = 30°. Ребро AR перпендикулярно к плоскости основания пирамиды и равно 8, а ребро BR образует с плоскостью основания угол 45°. Через середину ребра BR проведена плоскость параллельно плоскости основания пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, отсеченной этой плоскостью.

Так как ребро AR перпендикулярно плоскости основания и ∠BRA = 45°, то AR = AB = 8 (треугольник ABR – прямоугольный и равнобедренный).

В прямоугольном треугольнике ABC ∠B = 30°, значит AC = AB/2 = 8/2 = 4.

По теореме Пифагора BC = √(AB² - AC²) = √(8² - 4²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3.

Сечение проходит через середину ребра BR параллельно основанию, значит, все линейные размеры отсеченной пирамиды в 2 раза меньше, чем у исходной пирамиды.

Площадь боковой поверхности отсеченной пирамиды равна сумме площадей трех треугольников (боковых граней).

• Площадь треугольника ARS равна (1/2) * AR * AC/2 = (1/2) * 8/2 * 4/2 = 4.
• Площадь треугольника BRS равна (1/2) * BR/2 * BC/2. Поскольку BR = 8√2 (из прямоугольного треугольника ABR), то площадь равна (1/2) * (8√2)/2 * (4√3)/2 = 2√6.
• Площадь треугольника CRS равна (1/2) * CR * RS. RS = √(AR² + AS²) = √(4² + (4√3)²)= √64 = 8. CR = 2, тогда площадь равна (1/2) * 2 * 8 = 8.

Площадь боковой поверхности отсеченной пирамиды равна 4 + 2√6 + 8 = 12 + 2√6.

Ответ: 12 + 2√6