В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 16. Найдите площадь поверхности призмы, если её высота равна 3.

Для решения этой задачи нам нужно найти площадь поверхности прямой призмы. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3 и 16. Высота призмы равна 3. 1. Найдем площадь основания (прямоугольного треугольника): Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$ $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 16 = 24$$ 2. Найдем гипотенузу основания: По теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ $$c = \sqrt{3^2 + 16^2} = \sqrt{9 + 256} = \sqrt{265}$$ 3. Найдем площадь боковой поверхности призмы: Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей прямоугольников, которые являются боковыми гранями. В нашем случае это три прямоугольника со сторонами, равными катетам и гипотенузе основания, и высотой призмы. $$S_{бок} = (a + b + c) \cdot h$$ $$S_{бок} = (3 + 16 + \sqrt{265}) \cdot 3 = (19 + \sqrt{265}) \cdot 3 = 57 + 3\sqrt{265}$$ 4. Найдем площадь полной поверхности призмы: Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей боковой поверхности и двух площадей основания. $$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$$ $$S_{полн} = 57 + 3\sqrt{265} + 2 \cdot 24 = 57 + 3\sqrt{265} + 48 = 105 + 3\sqrt{265}$$ Таким образом, площадь поверхности призмы равна $$105 + 3\sqrt{265}$$. Ответ: $$105 + 3\sqrt{265}$$