В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1, пересекающиеся в точке H. Известно, что \(\angle HAC = 30^\circ\), AB = 5. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Привет! Давай решим эту задачу по геометрии вместе. 1. Понимание условия: В треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁, которые пересекаются в точке H. Нам дан угол \(\angle HAC = 30^\circ\), и нужно найти угол \(\angle BCA\). 2. Анализ ситуации: Точка H – это ортоцентр треугольника ABC (точка пересечения высот). \(\angle HAC\) и \(\angle OAB\) равны, где O - центр описанной окружности вокруг треугольника ABC. 3. Решение: * Рассмотрим четырехугольник \(AC_1HB_1\). У него углы \(\angle AC_1H\) и \(\angle AB_1H\) прямые, так как \(CC_1\) и \(BB_1\) — высоты. * Сумма углов в четырехугольнике равна \(360^\circ\). Значит, \(\angle C_1HB_1 = 180^\circ - \angle A\). * Углы \(\angle C_1HB_1\) и \(\angle BHC\) равны как вертикальные. Следовательно, \(\angle BHC = 180^\circ - \angle A\). * В треугольнике AHC: \(\angle ACH = 90^\circ - \angle HAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). * Поскольку \(\angle HAC = 30^\circ\), то \(\angle BAC = 30^\circ\). * Тогда \(\angle BHC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). * В треугольнике BHC: \(\angle HBC + \angle BCH = 180^\circ - \angle BHC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). * Так как \(BB_1\) — высота, то \(\angle HBC = 90^\circ - \angle C\). Аналогично, \(\angle HCB = 90^\circ - \angle B\). * Следовательно, \(\angle HBC + \angle HCB = 90^\circ - \angle C + 90^\circ - \angle B = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 30^\circ\). * Отсюда \(\angle B + \angle C = 150^\circ\). * Мы знаем, что сумма углов в треугольнике ABC равна \(180^\circ\), то есть \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\). * Таким образом, \(\angle A + 150^\circ = 180^\circ\), значит, \(\angle A = 30^\circ\). * Теперь найдем угол \(\angle BCA\) (угол C): \(\angle C = 90^\circ - \angle HAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). 4. Ответ: Угол \(\angle BCA = 60^\circ\). Тогда угол BCA равен 60 градусов.