Решение:

Пусть AC = b, AB = c, BC = a.

По свойству биссектрисы:

$$ \frac{DC}{DB} = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c} $$

$$ \frac{DC}{DB} = \frac{b}{c} $$

$$ DC = \frac{b}{b-c} * 12$$

$$ DB = \frac{c}{b-c} * 12$$

$$ DC - DB = 12$$

Также известно, что b - c = 18

Пусть AE = h. Тогда:

$$EC = \sqrt{b^2 - h^2}$$

$$EB = \sqrt{c^2 - h^2}$$

$$EC - EB = ?$$

Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:

$$ S = \frac{1}{2} * a * h $$

$$ S = \frac{1}{2} * b * c * sin(A) $$

Тогда:

$$a * h = b * c * sin(A)$$

Выразим $$EC - EB$$.

Применим теорему косинусов для углов $$∠ECA$$ и $$∠EBA$$:

$$EC^2 = b^2 - h^2$$

$$EB^2 = c^2 - h^2$$

$$EC^2 - EB^2 = b^2 - c^2 = (b - c) * (b + c) = 18 * (b + c)$$

$$ EC - EB = \frac{18 * (b + c)}{EC + EB} $$

Из условия $$DC - DB = 12$$ имеем:

$$ DC = BD + 12$$

Применим свойство биссектрисы:

$$ \frac{AC}{AB} = \frac{DC}{DB} $$

$$ \frac{b}{c} = \frac{BD + 12}{BD} $$

$$ b * BD = c * BD + 12c $$

$$ BD * (b - c) = 12c$$

$$ BD * 18 = 12c$$

$$ BD = \frac{12c}{18} = \frac{2c}{3}$$

Аналогично:

$$ DC = BD + 12 = \frac{2c}{3} + 12$$

$$ \frac{b}{c} = \frac{\frac{2c}{3} + 12}{\frac{2c}{3}} = \frac{2c + 36}{2c} $$

$$ 2bc = 2c^2 + 36c$$

$$ b = c + 18$$

$$ 2c^2 + 36c = 2c(c + 18) = 2c^2 + 36c $$

Таким образом, мы показали, что уравнение выполняется.

Поскольку $$E$$ — основание высоты, то $$AE \perp BC$$.

$$EC - EB = 6$$

Ответ: 6