В остроугольном треугольнике ABC высоты AA₁ и BB₁ пересекаются в точке O. a) Докажите, что ∠ACO = ∠ABO; б) Найдите углы треугольника ABC, если ∠ACO = 22°, ∠A₁AB = 11°.

Решение: а) Рассмотрим четырехугольник CA₁OB₁. ∠CA₁O = 90° (AA₁ - высота) и ∠CB₁O = 90° (BB₁ - высота). Сумма углов четырехугольника равна 360°, следовательно, ∠CA₁O + ∠CB₁O + ∠A₁OB₁ + ∠ACB = 360°. 90° + 90° + ∠A₁OB₁ + ∠ACB = 360° 180° + ∠A₁OB₁ + ∠ACB = 360° ∠A₁OB₁ + ∠ACB = 180° Следовательно, ∠A₁OB₁ = 180° - ∠ACB. Теперь рассмотрим треугольники ACO и ABO. В треугольнике AA₁B, ∠A₁AB = 90° - ∠ABO (т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). В треугольнике BB₁A, ∠B₁BA = 90° - ∠BAO. Т.к. ∠ACO = ∠ACB - ∠BCO и ∠ABO = ∠ABC - ∠OBC, докажем, что ∠ACO = ∠ABO. ∠A = 90° - ∠ABO + ∠A₁AB и ∠B = 90° - ∠BAO + ∠B₁BA Так как AA₁ и BB₁ - высоты, то треугольники AA₁C и BB₁C - прямоугольные. Следовательно, ∠ACO = 90° - ∠A и ∠ABO = 90° - ∠B. Так как ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то ∠A + ∠B = 180° - ∠C. И так как ∠ACO + ∠ABO = 90° - ∠A + 90° - ∠B = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (180° - ∠C) = ∠C. То ∠ACO = ∠ABO. б) Дано: ∠ACO = 22°, ∠A₁AB = 11°. Найти: ∠A, ∠B, ∠C. Решение: ∠A₁AB = 11° ∠ABO = ∠ACO = 22° (доказано в пункте а). В прямоугольном треугольнике AA₁B: ∠A = 90° - ∠B = 90° - 22° = 68°. ∠A = ∠A₁AB + ∠CAA₁ = 11° + ∠CAA₁ = 68°. ∠CAA₁ = 68° - 11° = 57°. В прямоугольном треугольнике AA₁C: ∠C = 90° - ∠A = 90° - 57° = 33°. Так как ∠ACO = 22°, то ∠BCO = ∠C - ∠ACO = 33° - 22° = 11°. Следовательно, углы треугольника ABC равны: ∠A = 68° ∠B = 2 * ∠ABO = 2 * 22° = 44° ∠C = 33° Ответ: ∠A = 68°, ∠B = 44°, ∠C = 33°.