462 В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ $$AA_1 = AB = AD = 1$$, $$\angle DAB = 60^{\circ}$$, $$\angle A_1AD = \angle A_1AB = 90^{\circ}$$. Вычислите: a) $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{D_1C_1}$$; б) $$\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{D_1B_1}$$; в) $$\overrightarrow{AC_1} \cdot \overrightarrow{AC}$$; г) $$|DB_1|$$; д) $$|A_1C|$$; e) $$\cos(\overrightarrow{DA_1}, \overrightarrow{D_1B})$$; ж) $$\cos(\overrightarrow{AC_1}, \overrightarrow{DB_1})$$.

Это задача по геометрии, в которой требуется вычислить скалярные произведения векторов, длины векторов и косинусы углов между векторами в заданном параллелепипеде. Дано, что $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ – параллелепипед, $$AA_1 = AB = AD = 1$$, $$\angle DAB = 60^{\circ}$$, $$\angle A_1AD = \angle A_1AB = 90^{\circ}$$.

Для решения этой задачи, можно ввести систему координат с началом в точке $$A$$, ось $$x$$ направить вдоль $$AB$$, ось $$y$$ – в плоскости $$ABCD$$ перпендикулярно $$AB$$, а ось $$z$$ – вдоль $$AA_1$$. Тогда координаты точек будут следующими:

$$A(0, 0, 0)$$, $$B(1, 0, 0)$$, $$D(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$, $$A_1(0, 0, 1)$$, $$C(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$

Теперь найдем координаты остальных точек:

$$D_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$$, $$B_1(1, 0, 1)$$, $$C_1(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$$

Найдем векторы, которые нам потребуются:

• $$\overrightarrow{BA} = A - B = (-1, 0, 0)$$
• $$\overrightarrow{D_1C_1} = C_1 - D_1 = (1, 0, 0)$$
• $$\overrightarrow{BC} = C - B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$
• $$\overrightarrow{D_1B_1} = B_1 - D_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$
• $$\overrightarrow{AC_1} = C_1 - A = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$$
• $$\overrightarrow{AC} = C - A = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$
• $$\overrightarrow{DB_1} = B_1 - D = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$$
• $$\overrightarrow{A_1C} = C - A_1 = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$$
• $$\overrightarrow{DA_1} = A_1 - D = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$$

Теперь вычислим требуемые величины:

а) $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{D_1C_1} = (-1, 0, 0) \cdot (1, 0, 0) = -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -1$$

б) $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{D_1B_1} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 0 = -\frac{1}{2}$$

в) $$\overrightarrow{AC_1} \cdot \overrightarrow{AC} = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1) \cdot (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 0 = \frac{12}{4} = 3$$

г) $$|DB_1| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

д) $$|A_1C| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{12}{4} + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

e) $$\cos(\overrightarrow{DA_1}, \overrightarrow{D_1B}) = \frac{\overrightarrow{DA_1} \cdot \overrightarrow{D_1B}}{|\overrightarrow{DA_1}| \cdot |\overrightarrow{D_1B}|}$$

$$\overrightarrow{D_1B} = - \overrightarrow{D_1B_1} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$

$$\overrightarrow{DA_1} \cdot \overrightarrow{D_1B} = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1) \cdot (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$$

$$|\overrightarrow{DA_1}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{2}$$

$$|\overrightarrow{D_1B}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$$

$$\cos(\overrightarrow{DA_1}, \overrightarrow{D_1B}) = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2} \cdot 1} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$

ж) $$\cos(\overrightarrow{AC_1}, \overrightarrow{DB_1}) = \frac{\overrightarrow{AC_1} \cdot \overrightarrow{DB_1}}{|\overrightarrow{AC_1}| \cdot |\overrightarrow{DB_1}|}$$

$$\overrightarrow{AC_1} \cdot \overrightarrow{DB_1} = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1) \cdot (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1) = \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + 1 = 1$$

$$|\overrightarrow{AC_1}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{4} = 2$$

$$|\overrightarrow{DB_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{2}$$

$$\cos(\overrightarrow{AC_1}, \overrightarrow{DB_1}) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$