3. В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ диагонали равны. Найдите угол между диагональю $$B_1D$$ и стороной основания $$CD$$, если $$AB + CD = B_1D$$.

Так как $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ параллелепипед, то $$AB = CD$$. По условию $$AB + CD = B_1D$$, следовательно, $$2CD = B_1D$$.

Пусть угол между диагональю $$B_1D$$ и стороной $$CD$$ равен $$\alpha$$. Рассмотрим треугольник $$B_1DC$$. В этом треугольнике $$CD$$ - сторона основания, а $$B_1D$$ - диагональ. Так как $$CD = AB$$, то $$B_1D = 2CD$$.

Проведем $$BB_1$$. $$BB_1$$ перпендикулярна $$CD$$. Тогда $$B_1D^2 = B_1B^2 + BD^2 = B_1B^2 + BC^2 + CD^2$$.

Пусть $$CD = a$$. Тогда $$B_1D = 2a$$. Получаем $$(2a)^2 = B_1B^2 + BC^2 + a^2$$, следовательно, $$4a^2 = B_1B^2 + BC^2 + a^2$$, значит, $$3a^2 = B_1B^2 + BC^2$$.

Так как диагонали параллелепипеда равны, значит, это прямоугольный параллелепипед. Следовательно, треугольник $$CDD_1$$ прямоугольный. $$B_1B = DD_1$$.

В прямоугольном треугольнике $$CDD_1$$ $$DD_1^2 + CD^2 = CD_1^2$$. Так как диагонали равны, то $$B_1D = AC_1 = BD_1 = CA_1$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$B_1DC$$. Обозначим угол $$CDB_1$$ за $$\alpha$$. Тогда:

$$\cos(\alpha) = \frac{CD}{B_1D} = \frac{CD}{2CD} = \frac{1}{2}$$

Таким образом, $$\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$$.

Ответ: Угол между диагональю $$B_1D$$ и стороной основания $$CD$$ равен $$60^\circ$$.