В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла A делит сторону BC на отрезки BE = 8 см и CE = 2 см. ∠AEC = 150°. Найти: а) углы параллелограмма; б) периметр параллелограмма; в) площадь четырёхугольника AECD.

а) Углы параллелограмма.

Так как точки B, E и C лежат на одной прямой, ∠AEB = 180° − 150° = 30°. Биссектриса AE делит угол A пополам, а AB ∥ CD и AD ∥ BC. Из подобия треугольников ABE и AED (или из свойства биссектрисы в параллелограмме) получаем AB = BE = 8 см. В треугольнике ABE стороны AB и BE равны, поэтому углы BAE и AEB равны: ∠BAE = 30°. Следовательно, ∠A = 60°, а соседний угол ∠B = 180° − 60° = 120°.

б) Периметр. BC = BE + CE = 8 + 2 = 10 см. Тогда P = 2(AB + BC) = 2(8 + 10) = 36 см.

в) Площадь AECD. Площадь параллелограмма равна 8 · 10 · sin 60° = 40√3 см². Площадь треугольника ABE равна (1/2) · 8 · 8 · sin 120° = 16√3 см². Четырёхугольник AECD — остаток параллелограмма после удаления треугольника ABE, поэтому S_AECD = 40√3 − 16√3 = 24√3 см².

Ответ: а) 60° и 120°; б) 36 см; в) 24√3 см².