В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 12.

Рассмотрим решение задачи. 1. Так как AM - биссектриса угла A, то \(\angle BAM = \angle MAD\). Поскольку ABCD - параллелограмм, то \(BC \parallel AD\), следовательно, \(\angle BMA = \angle MAD\) как накрест лежащие углы. Из этого следует, что \(\angle BAM = \angle BMA\), а значит, треугольник ABM - равнобедренный и \(AB = BM = 12\). 2. Так как AM и DM перпендикулярны, то \(\angle AMD = 90^{\circ}\). Пусть \(\angle MAD = x\), тогда \(\angle MDA = 90^{\circ} - x\). Угол ADC равен \(2x\) (так как \(\angle BAD = 2x\), а противоположные углы параллелограмма равны). Следовательно, \(\angle MDC = \angle ADC - \angle ADM = 2x - (90^{\circ} - x) = 3x - 90^{\circ}\). 3. Рассмотрим треугольник AMD. Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). Следовательно, \(\angle MAD + \angle ADM + \angle AMD = 180^{\circ}\). Отсюда, \(x + (90^{\circ} - x) + 90^{\circ} = 180^{\circ}\). Это уравнение выполняется, но не дает новой информации. 4. Рассмотрим треугольник CMD. Сумма углов этого треугольника равна \(180^{\circ}\). \(\angle MCD + \angle MDC + \angle DMC = 180^{\circ}\). Так как ABCD - параллелограмм, то \(\angle BCD = 180^{\circ} - 2x\). Следовательно, \(\angle MDC + \angle MCD + \angle CMD = (3x-90) + (180 - 2x) + \angle CMD = 180\). Отсюда \(x + 90 + \angle CMD = 180\) => \(\angle CMD = 90 - x\). 5. Так как \(\angle ADM = 90 -x\) и \(\angle CMD = 90-x\), то \(\angle ADM = \angle CMD\), следовательно, DM - биссектриса угла ADC. Так как DM перпендикулярна AM, то AMD - прямоугольный треугольник. И угол AMD = 90 градусов, ADM = CDM. 6. Так как AM и DM перпендикулярны, то треугольник AMD - прямоугольный. Угол MAD = ADM = 45 градусов. Значит угол BAD = ADC = 2*45 = 90 градусов. Следовательно, ABCD - прямоугольник. Так как BM=AB=12, то MC = AD - BM = AD-12 7. Так как угол MAD = 45 градусов и угол MDC = 45 градусов, следовательно, AM=BM, а значит AD=AM. С другой стороны треугольник MAD - равнобедренный, следовательно AD=MD. Таким образом CMD - прямоугольный равнобедренный треугольник, значит MC = MD. Значит AD - BM = MD. По условию AB = 12, а так как ABCD прямоугольник, то CD= AB =12. MC= MD и MC = BC- BM = AD -12. 8. В прямоугольнике ABCD, AD = BC. Так как BM = 12, то MC = BC - BM = AD - 12. Так как треугольник AMD прямоугольный и \(\angle MAD = \angle MDA = 45^{\circ}\), то треугольник AMD равнобедренный, и \(AD = AM\). 9. Так как \(\angle CMD = 45^{\circ}\) и \(\angle MCD = 90^{\circ}\) то \(\angle MDC = 45^{\circ}\), значит MDC - равнобедренный и MD = MC. Тогда AD - 12 = MC = MD = AD. 10. Следовательно AD = CD, AD -12 = CD. AD = 2*CD, AD = 2*12=24. Следовательно ВС= AD = 24. 11. Периметр параллелограмма равен \(P = 2(AB + BC) = 2(12 + 24) = 2(36) = 72\). Ответ: 72