В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 6. Запишите решение и ответ.

1. Так как AM - биссектриса угла A, то \(\angle BAM = \angle MAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). 2. Так как AM и DM перпендикулярны, то \(\angle AMD = 90^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник AMD. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \(\angle ADM = 180^\circ - \angle AMD - \angle MAD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). 4. Рассмотрим треугольник ABM. \(\angle ABM = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Тогда \(\angle AMB = 180^\circ - \angle ABM - \angle BAM = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ\). 5. Так как \(\angle BAM = \angle AMB = 30^\circ\), то треугольник ABM равнобедренный, следовательно, AB = BM = 6. 6. Так как ABCD - параллелограмм, то BC = AD. Так как \(\angle MAD = \angle ADM = 30^\circ\), то треугольник AMD равнобедренный, следовательно, AD = AM. 7. Так как \(\angle AMB = 30^\circ\) и \(\angle AMD = 90^\circ\), то \(\angle CMD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). 8. Так как \(\angle CDM = 60^\circ \), то \(\angle DMC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Следовательно, треугольник CDM прямоугольный с углом 30 градусов напротив стороны СМ. Тогда \(CM = \frac{1}{2} DM\) или \(DM = 2CM\). Так как BC = BM+MC, то AD = 6+MC. Из треугольника AMD следует, что AD = AM. Рассмотрим четырехугольник AMCD. \(\angle MAD = \angle AMD = 30^\circ\). 9. Так как BC = BM + MC и BM = 6, тогда AD = BC = BM + MC = 6 + MC. 10. В прямоугольном треугольнике AMD \(tg(ADM) = \frac{AM}{DM}\), т.е. \(tg(60^\circ) = \sqrt{3} = \frac{AM}{DM}\). Тогда \(AM = DM \cdot \sqrt{3}\) или \(AM = 2MC \cdot \sqrt{3}\). 11. В треугольнике ABM \(\frac{BM}{sin(30^\circ)} = \frac{AM}{sin(120^\circ)}\), следовательно \(AM = BM \cdot \frac{sin(120^\circ)}{sin(30^\circ)} = 6 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{3}\). 12. AD = AM = \(6\sqrt{3}\). 13. BC = AD = \(6\sqrt{3}\). 14. MC = BC - BM = \(6\sqrt{3} - 6\). 15. Периметр параллелограмма равен \(2(AB + BC) = 2(6 + 6\sqrt{3}) = 12 + 12\sqrt{3} = 12(1 + \sqrt{3})\). **Ответ:** \(12(1 + \sqrt{3})\)