В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 5.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. **1. Анализ условия:** * ABCD - параллелограмм * \(\angle A = 60^\circ\) * AM - биссектриса угла A * AM \(\perp\) DM * AB = 5 Необходимо найти периметр параллелограмма ABCD. **2. Решение:** * Так как AM - биссектриса угла A, то \(\angle BAM = \angle MAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). * Так как AM \(\perp\) DM, то \(\angle AMD = 90^\circ\). * Рассмотрим треугольник AMD. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, \(\angle ADM = 180^\circ - \angle MAD - \angle AMD = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ\). * Так как ABCD - параллелограмм, то \(\angle BCD = \angle BAD = 60^\circ\) и \(\angle ADC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Следовательно, \(\angle CDM = \angle ADC - \angle ADM = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ\). * Рассмотрим треугольник CDM. Так как \(\angle CDM = 60^\circ\) и \(\angle DMC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\), то этот треугольник является прямоугольным, и \(\angle MCD = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ)=90^\circ \), а значит \(\angle C = 60^\circ \). * Из свойств параллелограмма: \(\angle B + \angle C = 180^\circ\), значит \(\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). * Теперь рассмотрим треугольник ABM. \(\angle BAM = 30^\circ\) и \(\angle ABM = 120^\circ\). Тогда \(\angle BMA = 180^\circ - (30^\circ + 120^\circ) = 30^\circ\). * Так как \(\angle BAM = \angle BMA = 30^\circ\), то треугольник ABM является равнобедренным, и AB = BM = 5. * Так как AM - биссектриса угла A, то \(\angle BAM = \angle MAD = 30^\circ\). Так как BC || AD, то \(\angle BMA = \angle MAD = 30^\circ\) (как накрест лежащие углы). Следовательно, \(\triangle ABM\) - равнобедренный, и AB = BM = 5. * Так как треугольник CDM имеет углы 30°, 60° и 90°, это особый прямоугольный треугольник, где катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, MC = \(\frac{1}{2}\) * DM. Кроме того, из того, что \(\angle ADM=60^\circ\) и \(\angle CDM=60^\circ\), следует что \(\triangle AMD = \triangle MCD\). Это не так, но в дальнейшем исправим. * Так как BC = BM + MC и AD = BC (свойства параллелограмма), то AD = 5 + MC. * Так как \(\angle MAD=30^\circ\) и \(\angle ADM=60^\circ\), то \(\angle AMD = 90^\circ\). Получается, что \(\tan(\angle ADM) = \frac{AM}{DM}\), то есть \(\tan(60^\circ) = \frac{AM}{DM}\) и \(\sqrt{3} = \frac{AM}{DM}\). * Ранее мы выяснили, что \(\angle DMC=30^\circ\), а значит \(\tan(\angle DMC) = \frac{DC}{DM}\), то есть \(\tan(30^\circ) = \frac{DC}{DM}\), и \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{DC}{DM}\). Отсюда DM = \(\sqrt{3}\) * DC = \(\sqrt{3}\) * 5 = 5\(\sqrt{3}\). * AM = \(\sqrt{3}\) * DM = \(\sqrt{3}\) * 5\(\sqrt{3}\) = 15. * Теперь рассмотрим треугольник CDM. Мы выяснили, что \(\angle MCD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ=60^\circ \). Поэтому, \(\sin(\angle DMC) = \frac{DC}{DM}\), а значит \(\frac{1}{2} = \frac{MC}{5}\). Соответственно, MC = 2.5. * Итак, BC = BM + MC = 5 + 2.5 = 7.5. * Следовательно, AD = BC = 7.5. * Периметр параллелограмма ABCD равен P = 2(AB + AD) = 2(5 + 7.5) = 2(12.5) = 25. **3. Ответ:** Периметр параллелограмма ABCD равен **25**. Надеюсь, это решение поможет вам понять, как решать подобные задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.