17) В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 8.

Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором AB = 8. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, при этом \(\angle BAM = \angle MAD = 60^\circ / 2 = 30^\circ\). Также известно, что AM \(\perp\) DM. 1. Рассмотрим треугольник AMD. Так как AM \(\perp\) DM, то \(\angle AMD = 90^\circ\). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому: \(\angle MAD + \angle ADM + \angle AMD = 180^\circ\) \(30^\circ + \angle ADM + 90^\circ = 180^\circ\) \(\angle ADM = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) 2. Рассмотрим треугольник ABM. \(\angle BAM = 30^\circ\). Так как AM - биссектриса угла A, а \(\angle A = 60^\circ\), то \(\angle BAM = 30^\circ\). Так как ABCD - параллелограмм, то BC || AD. Следовательно, \(\angle MAD = \angle BMA = 30^\circ\) как накрест лежащие углы. Таким образом, \(\triangle ABM\) - равнобедренный (\(AB = BM\)), и \(AB = BM = 8\). 3. Рассмотрим треугольник MCD. \(\angle ADM = 60^\circ\). Так как AD || BC, то \(\angle MDC = \angle DMC\) (внутренние накрест лежащие). В параллелограмме противоположные стороны равны: AD = BC. 4. Находим сторону AD. Так как \(\angle AMD = 90^\circ\), \(\angle MAD = 30^\circ\) и \(\angle ADM = 60^\circ\), то \(\triangle AMD\) - прямоугольный. А поскольку \(\angle MAD = 30^\circ\) и \(\angle ADM = 60^\circ\), то \(\triangle AMD\) - половина равностороннего треугольника. Из равнобедренного треугольника ABM следует, что AB = BM = 8. 5. Находим периметр параллелограмма ABCD. \(P = 2(AB + BC)\) или \(P = 2(AB + AD)\). Так как \(AD = BC = BM + MC\), а \(MC = 8\), то \(BC = 8 + 8 = 16\). \(P = 2(8 + 16) = 2(24) = 48\). Ответ: Периметр параллелограмма ABCD равен 48.