В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 10.

Решение: 1. Так как AM – биссектриса угла A, то \(\angle BAM = \angle MAD = \frac{60°}{2} = 30°\). 2. По условию AM и DM перпендикулярны, значит, \(\angle AMD = 90°\). 3. Рассмотрим треугольник AMD. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, \(\angle ADM = 180° - \angle AMD - \angle MAD = 180° - 90° - 30° = 60°\). 4. Рассмотрим треугольник ABM. Так как ABCD – параллелограмм, то BC || AD. Следовательно, \(\angle BMA = \angle MAD = 30°\) как внутренние накрест лежащие углы. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, и AB = BM = 10. 5. В треугольнике AMD: \(\angle MAD = 30°\), \(\angle ADM = 60°\), следовательно, \(\angle AMD = 90°\). Тогда \(\angle CDM = 90° - \angle ADM = 90° - 60° = 30°\). 6. Рассмотрим треугольник CDM. \(\angle CDM = 30°\), \(\angle DMC = 180° - \angle AMD - \angle BMA = 180° - 90° - 30° = 60°\), следовательно, \(\angle MCD = 180° - \angle CDM - \angle DMC = 180° - 30° - 60° = 90°\). Значит, треугольник CDM – прямоугольный. 7. В параллелограмме ABCD противолежащие стороны равны, то есть BC = AD. Так как BM = 10, то MC = BC - BM = AD - 10. 8. В прямоугольном треугольнике CDM катет MC, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы DM. Следовательно, DM = 2 * MC = 2 * (AD - 10). 9. Рассмотрим треугольник ADM. По теореме синусов: \(\frac{AD}{sin(90°)} = \frac{DM}{sin(30°)}\) \(\frac{AD}{1} = \frac{2(AD - 10)}{0.5}\) AD = 4(AD - 10) AD = 4AD - 40 3AD = 40 AD = \(\frac{40}{3}\) 10. Периметр параллелограмма ABCD равен: P = 2 * (AB + AD) = 2 * (10 + \(\frac{40}{3}\)) = 2 * (\(\frac{30}{3}\) + \(\frac{40}{3}\)) = 2 * \(\frac{70}{3}\) = \(\frac{140}{3}\) Ответ: \(\frac{140}{3}\)