18. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в М. Отрезки АМ и ДМ перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 6. шите решение и ответ.

Решение задачи по геометрии

Пошаговое решение:

1. Угол \( \angle BAD = 60^\circ \), значит, \( \angle BAM = \angle MAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).
2. Так как \( AM \perp DM \), то \( \angle AMD = 90^\circ \).
3. В треугольнике \( \triangle AMD \): \( \angle MAD + \angle ADM = 90^\circ \), следовательно, \( \angle ADM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
4. \( AD \) - биссектриса угла \( \angle ADC \), значит, \( \angle ADC = 2 \cdot \angle ADM = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \).
5. В параллелограмме углы прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180 градусов, значит, \( \angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
6. Тогда \( \angle BMA = \angle MAD = 30^\circ \) (накрест лежащие углы при \( AD \parallel BC \) и секущей \( AM \)).
7. В треугольнике \( \triangle ABM \): \( \angle BAM = \angle BMA = 30^\circ \), значит, \( \triangle ABM \) равнобедренный и \( AB = BM = 6 \).
8. Рассмотрим треугольник \( \triangle AMD \) \( AD= 6 \)
9. Так как \( AD=BM \)
10. Так как \( ABCD \) параллелограмм и \( AD = BC \), следовательно, \( BC = 2AB = 12 \).
11. Периметр параллелограмма: \( P = 2(AB + BC) = 2(6 + 12) = 2 \cdot 18 = 36 \).

Ответ: 36