В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки М и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 6. Запишите решение и ответ.

Привет! Разберём эту задачку вместе. Смотри, тут всё довольно просто, если понять логику параллелограмма и биссектрисы.

Решение:

1. Анализ углов и сторон:

   Так как AM - биссектриса угла A, то угол BAM равен углу MAD, и оба они равны 60° / 2 = 30°.

   Поскольку углы BAM и BMA равны (оба по 30°), треугольник ABM - равнобедренный, и следовательно, AB = BM = 6.

2. Находим сторону BC:

   Так как AM и DM перпендикулярны, угол AMD = 90°. В треугольнике AMD угол MAD = 30°, следовательно, угол ADM = 180° - 90° - 30° = 60°.

   Угол ADC параллелограмма равен 180° - 60° = 120°. Значит, угол MDC = ADC - ADM = 120° - 60° = 60°.

   Треугольник MDC - равнобедренный (так как углы MDC и MCD равны 60°), следовательно, MC = DM.

   Треугольник ADM - прямоугольный, и угол MAD = 30°. Значит, DM = AD / 2 (катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы).

   Итак, MC = AD / 2.

   BC = BM + MC = 6 + AD / 2. Так как BC = AD (противоположные стороны параллелограмма), получаем AD = 6 + AD / 2.

   Решаем уравнение: AD - AD / 2 = 6, значит AD / 2 = 6, и AD = 12.

3. Вычисляем периметр:

   Периметр параллелограмма P = 2 * (AB + AD) = 2 * (6 + 12) = 2 * 18 = 36.

Ответ: 36

Проверка за 10 секунд: Убедись, что нашёл все стороны и правильно применил формулу периметра.

Уровень Эксперт: Попробуй доказать это геометрически, построив чертёж и измерив стороны. Это поможет лучше понять свойства параллелограммов и биссектрис!