В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 38°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть длина AB равна \(a\). Так как ABCD — параллелограмм, CD = AB = \(a\), а AC = \(2a\). Угол между AC и CD равен 38°.

Обозначим через \(\theta\) угол между диагоналями AC и BD. Векторы диагоналей можно представить как \(AC=u+v\) и \(BD=v-u\), где \(|u|=a\), а \(|u+v|=2a\). Из угла между AC и CD следует, что угол между \(u\) и \(u+v\) равен 38°.

Тогда для диагонали BD, выраженной относительно направления AC, получаем компоненты, пропорциональные \((2\cos38^\circ-2,\ 2\sin38^\circ)\). Поэтому

\(\theta=\arctan\dfrac{2\sin38^\circ}{2-2\cos38^\circ}\approx70.9^\circ\).

Ответ: примерно 71°.