В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и \(\angle\) ACD = 21°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть \( AB = x \). Тогда \( AC = 2x \). В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \( CD = AB = x \).

Рассмотрим \( \triangle ACD \). Стороны \( AC = 2x \), \( CD = x \).

По теореме косинусов в \( \triangle ACD \): \( AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 · AC · CD · \cos(\angle ACD) \).

В параллелограмме \( AD = BC \).

В \( \triangle ABC \): \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 · AB · BC · \cos(\angle ABC) \).

Так как \( AC \) — диагональ, она делит параллелограмм на два равных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \). Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей. Тогда \( AO = OC = x \) и \( BO = OD \).

В \( \triangle OCD \): \( OC = x \), \( CD = x \). \( \triangle OCD \) — равнобедренный.

\( \angle ODC = \angle OCD = 21^{\circ} \).

\( \angle COD = 180^{\circ} - (21^{\circ} + 21^{\circ}) = 180^{\circ} - 42^{\circ} = 138^{\circ} \).

Угол \( \angle AOB \) смежный с \( \angle COD \), поэтому \( \angle AOB = 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ} \).

Углы \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) равны \( 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ} \) (вертикальные углы).

Углы между диагоналями — это \( 42^{\circ} \) и \( 138^{\circ} \).

Меньший угол равен \( 42^{\circ} \).

Ответ: 42.