В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите ∠CDO, если известно, что ∠BAC = 40° = ∠BCA. Параллелограмм ABCD является... прямоугольником, ромбом, квадратом. Укажите градусную меру искомого угла.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке O, и ∠BAC = 40° = ∠BCA.

1. Определение типа параллелограмма:

Так как ∠BAC = ∠BCA, треугольник ABC - равнобедренный с основанием AB. В параллелограмме ABCD стороны AB и CD параллельны, а углы BAC и ACD - накрест лежащие. Следовательно, ∠ACD = ∠BAC = 40°. Также, углы BCA и CAD - накрест лежащие, значит ∠CAD = ∠BCA = 40°.

Таким образом, диагональ AC является биссектрисой угла BAD и угла BCD. Это означает, что параллелограмм ABCD является ромбом.

2. Нахождение угла CDO:

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым углом. Так как ромб – это параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны. Значит, ∠BAC = ∠ACD = 40° (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).

Рассмотрим треугольник COD. В ромбе диагонали перпендикулярны, значит ∠DOC = 90°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно:

$$∠CDO + ∠DOC + ∠OCD = 180°$$

$$∠CDO + 90° + 40° = 180°$$

$$∠CDO = 180° - 90° - 40° = 50°$$

Ответ: Параллелограмм ABCD является ромбом. ∠CDO = 50°