В параллелограмме ABCD проведены соответственно высоты BF и BR к сторонам AD и CD. Угол между высотами составляет 60°, AF = 4, FD = 8. Найдите углы и периметр параллелограмма ABCD.

Для решения данной задачи потребуется знание свойств параллелограмма, прямоугольных треугольников и тригонометрических функций.

1. Анализ углов:

Угол между высотами BF и BR равен 60°. Пусть угол между AD и CD (угол D) равен x. Тогда угол между высотами, опущенными из вершины B, равен 180° - x.

Так как угол между высотами равен 60°, имеем:

$$180^{\circ} - x = 60^{\circ}$$.

Отсюда, угол D равен:

$$x = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$$.

В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, угол B тоже равен 120°. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Значит, углы A и C равны:

$$180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$.

Таким образом, углы параллелограмма ABCD равны: углы A и C = 60°, углы B и D = 120°.

2. Нахождение сторон:

Рассмотрим прямоугольный треугольник BFD. В нем FD = 8. Чтобы найти BF, рассмотрим прямоугольный треугольник ABF, в котором AF = 4 и угол A = 60°.

В треугольнике ABF:

$$\tan{60^{\circ}} = \frac{BF}{AF}$$.

$$BF = AF \cdot \tan{60^{\circ}} = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$.

Теперь, когда известна высота BF, можно найти сторону AD:

$$AD = AF + FD = 4 + 8 = 12$$.

Для нахождения стороны CD рассмотрим прямоугольный треугольник BCR. Угол D = углу B = 120°, значит, угол CBR = 90° - (180° - 120°) = 30°.

В треугольнике BCR:

$$\sin{\angle BCR} = \frac{BR}{BC}$$.

Так как угол между высотами 60°, то угол между BF и BC равен 30°.

$$\sin{30^{\circ}} = \frac{FD}{BC}$$.

$$\frac{1}{2} = \frac{8}{BC}$$.

$$BC = 16$$.

Так как BC = AD, то BC = 12.

3. Вычисление периметра:

Периметр параллелограмма ABCD равен:

$$P = 2(AD + CD) = 2(12 + 16) = 2 \cdot 28 = 56$$.

Ответ: Углы параллелограмма равны 60° и 120°. Периметр параллелограмма равен 56.