17.В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны АВ. Известно, что ЕС = ED. Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.

Пусть ABCD - параллелограмм, Е - середина стороны AB, EC = ED.

Нужно доказать, что ABCD - прямоугольник, то есть, что один из углов параллелограмма равен 90 градусам.

Рассмотрим треугольник ECD. Так как EC = ED, то треугольник ECD - равнобедренный. Пусть угол DEC = α.

Проведём высоту EM в треугольнике ECD. Так как ECD равнобедренный, то EM является также медианой, то есть DM = MC.

Рассмотрим треугольники ABE, ECD, BFC, AFD.

Чтобы доказать, что ABCD - прямоугольник, достаточно доказать, что угол ADC равен 90 градусам.

Так как EM является высотой и медианой, то треугольники DEM и CEM равны. Следовательно, углы DEM и CEM равны.

Так как E - середина AB, то AE = EB.

Рассмотрим треугольники ADE и BCE. У них AE = EB, EC = ED, AD = BC (как противоположные стороны параллелограмма).

Следовательно, треугольники ADE и BCE равны по трём сторонам.

Тогда углы DAE и EBC равны. Обозначим их как β.

Так как ABCD - параллелограмм, то AD || BC, а следовательно, углы DAE и EBC являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых AD и BC и секущей AB.

Тогда угол DAE + угол EBC = 180 градусов.

Так как угол DAE = угол EBC = β, то 2β = 180 градусов, и β = 90 градусов.

Следовательно, угол DAE = 90 градусов.

Так как ABCD - параллелограмм, а угол DAE = 90 градусов, то ABCD - прямоугольник.

Ответ: Параллелограмм ABCD - прямоугольник, что и требовалось доказать.