В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Решение:

Дано:

• ABCD — параллелограмм.
• E — середина стороны AB.
• EC = ED.

Доказать:

• ABCD — прямоугольник.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle ADE \) и \( \triangle BCE \).
2. Так как ABCD — параллелограмм, то \( AD = BC \) и \( \angle DAB = \angle BCD \), \( \angle ABC = \angle ADC \).
3. Так как E — середина AB, то \( AE = EB \).
4. Из условия \( EC = ED \), следовательно, \( \triangle ADE = \triangle BCE \) по трём сторонам (первый признак равенства треугольников), если мы можем доказать равенство сторон AD и BC, AE и EB, а также DE и CE.
5. Построим систему координат, где точка A = (0, 0), B = (a, 0), D = (b, c).
6. Тогда C = (a+b, c).
7. E — середина AB, значит, E = (a/2, 0).
8. Теперь найдём квадраты длин отрезков EC и ED:
• \( ED^2 = (b - a/2)^2 + (c - 0)^2 = b^2 - ab + a^2/4 + c^2 \)
• \( EC^2 = ((a+b) - a/2)^2 + (c - 0)^2 = (a/2 + b)^2 + c^2 = a^2/4 + ab + b^2 + c^2 \)
9. По условию \( EC = ED \), следовательно \( EC^2 = ED^2 \).
10. \( b^2 - ab + a^2/4 + c^2 = a^2/4 + ab + b^2 + c^2 \)
11. \( -ab = ab \)
12. \( 2ab = 0 \).
13. Так как \( a \) — длина стороны AB ( \( a \neq 0 \) ), то \( b = 0 \).
14. Если \( b = 0 \), то точка D имеет координаты (0, c).
15. Тогда параллелограмм ABCD имеет вершины A(0, 0), B(a, 0), C(a, c), D(0, c).
16. Это означает, что стороны AB и AD перпендикулярны, так как их векторы \( \vec{AB} = (a, 0) \) и \( \vec{AD} = (0, c) \), их скалярное произведение равно \( a · 0 + 0 · c = 0 \).
17. Следовательно, все углы параллелограмма равны 90 градусам, что означает, что ABCD — прямоугольник.

Что и требовалось доказать.