В параллелограмме ABCD точки M и N — середины сторон CD и AD. Выразите вектор $$\overrightarrow{MN}$$ через векторы $$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{b}$$.

Решение:

1. $$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DN}$$
2. $$\overrightarrow{MD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} = 0.5 \overrightarrow{b}$$ (точка M - середина CD, $$\overrightarrow{MD} \uparrow\uparrow \overrightarrow{DC}$$)
3. $$\overrightarrow{DN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a}$$ (точка N - середина DA, $$\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{a}$$)

Итак, $$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DN} = 0.5 \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{a}$$

Ответ:

$$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}$$

Б. Следствия из определения произведения вектора на число

1. Произведение нулевого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
2. Для любого числа k и любого вектора $$\overrightarrow{a}$$ векторы $$\overrightarrow{a}$$ и $$k\overrightarrow{a}$$ коллинеарны.

В. Свойства произведения вектора на число

Для любых чисел k, l и любых векторов $$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{b}$$ справедливы равенства:

1. (kl)$$\overrightarrow{a} = k(l\overrightarrow{a})$$ (сочетательный закон).
2. (k + 1)$$\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} + \overrightarrow{a}$$ (первый распределительный закон).
3. k($$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$) = k$$\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}$$ (второй распределительный закон).