3. В параллелограмме АВСD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 6. Запишите решение и ответ.

1. Рассмотрим параллелограмм ABCD, где ∠A = 60° и AM - биссектриса угла A, пересекающая BC в точке M. Также AM ⊥ DM.

2. Так как AM - биссектриса угла A, то ∠BAM = ∠MAD = 60°/2 = 30°.

3. В треугольнике AMD ∠AMD = 90°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ∠ADM = 180° - 90° - 30° = 60°.

4. Поскольку ∠ADC = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°, то ∠MDC = ∠ADC - ∠ADM = 120° - 60° = 60°.

5. Так как ∠MDC = ∠ADM = 60°, то DM - биссектриса угла D.

6. В треугольнике AMD: ∠MAD = 30°, ∠ADM = 60°, ∠AMD = 90°. Так как AD || BC, то ∠MAD = ∠BMA как накрест лежащие углы. Следовательно, ∠BMA = 30°.

7. В треугольнике ABM: ∠ABM = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°, ∠BMA = 30°, следовательно, ∠BAM = 180° - 120° - 30° = 30°. Значит, треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM = 6.

8. В треугольнике MCD: ∠MCD = 120°, ∠MDC = 60°, следовательно, ∠DMC = 180° - 120° - 60° = 0°. Такого быть не может.

9. Так как AM и DM перпендикулярны, то сумма углов MAD и ADM = 90 градусам. Значит, угол A = 60, то угол D = 180 - 60 = 120 градусов. Биссектрисы углов А и Д равны 30 и 60 градусов соответственно. Получается, что угол АМД прямой.

10. В треугольнике АВМ угол А = 60, угол ВМА = 30. Следовательно, угол АВМ = 90 градусов. Но нам дано, что ABCD - параллелограмм, значит, в задаче ошибка, так как в параллелограмме не бывает углов 90 градусов, которые являются соседними.

11. Допустим, задача имеет решение, тогда АВ = 6, ВС = 2АВ = 12. Периметр Р = 2(АВ+ВС) = 2(6+12) = 36

Ответ: 36