В параллелограмме PZSM диагональ PS в 2 раза больше стороны PZ и ∠PSM = 118°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим через x и y векторы из точки S к точкам P и M соответственно. Тогда |x| = 2a, |y| = a, а угол между ними равен 118°.

По свойствам параллелограмма вектор второй диагонали ZM равен 2y − x. Поэтому косинус меньшего угла между диагоналями равен

\(\dfrac{|\mathbf{x}\cdot(2\mathbf{y}-\mathbf{x})|}{|\mathbf{x}|\,|2\mathbf{y}-\mathbf{x}|}=\sqrt{\dfrac{1-\cos 118^\circ}{2}}=\sin 59^\circ=\cos 31^\circ.\)

Следовательно, меньший угол между диагоналями равен 31°.

Ответ: 31°.