В параллелограмме $$RSTP$$ со сторонами $$PT = 7$$ и $$ST = 13$$ и диагональю $$PS = 12$$ найдите длину вектора $$\overrightarrow{PS} - \overrightarrow{RS}$$.

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит $$RS = PT = 7$$. Также, $$\overrightarrow{RS} = -\overrightarrow{SR}$$.

Тогда $$\overrightarrow{PS} - \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{PS} + \overrightarrow{SR} = \overrightarrow{PR}$$.

По теореме косинусов в параллелограмме:

$$PR^2 = PS^2 + RS^2 - 2 \cdot PS \cdot RS \cdot cos(\angle PSR)$$

Найдем косинус угла $$\angle PSR$$. По теореме косинусов для треугольника $$PST$$:

$$ST^2 = PS^2 + PT^2 - 2 \cdot PS \cdot PT \cdot cos(\angle SPT)$$

$$13^2 = 12^2 + 7^2 - 2 \cdot 12 \cdot 7 \cdot cos(\angle SPT)$$

$$169 = 144 + 49 - 168 \cdot cos(\angle SPT)$$

$$169 = 193 - 168 \cdot cos(\angle SPT)$$

$$168 \cdot cos(\angle SPT) = 193 - 169 = 24$$

$$cos(\angle SPT) = \frac{24}{168} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$$

$$\angle PSR$$ и $$\angle SPT$$ - смежные углы, значит $$\angle PSR + \angle SPT = 180^{\circ}$$, значит, $$cos(\angle PSR) = -cos(\angle SPT) = -\frac{1}{7}$$.

Теперь подставляем в первую формулу:

$$PR^2 = 12^2 + 7^2 - 2 \cdot 12 \cdot 7 \cdot (-\frac{1}{7})$$

$$PR^2 = 144 + 49 + 24 = 217$$

$$PR = \sqrt{217}$$

Ответ: $$\sqrt{217}$$