18. В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 7, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Решение: Пусть в первую ночь пришло x мышек. Тогда каждая мышка съела \(\frac{9}{x}\) головок сыра. Во вторую ночь пришло 7 мышек, и каждая съела в 3 раза меньше, чем накануне, т.е. \(\frac{9}{3x} = \frac{3}{x}\) головки сыра. Пусть изначально было y головок сыра. Тогда после первой ночи осталось \(y - 9\) головок сыра. Таким образом, 7 мышек съели \(y - 9\) головок сыра, и каждая съела \(\frac{3}{x}\) головки сыра. Получаем уравнение: \(7 \cdot \frac{3}{x} = y - 9\) \(\frac{21}{x} = y - 9\) Отсюда \(y = \frac{21}{x} + 9\) Так как x - целое число и делит 9, то возможные значения x: 1, 3, 9. Если x=1, то y = 21 + 9 = 30. Но тогда 1 мышка съела 9 головок сыра в первую ночь, а во вторую ночь 7 мышек должны были съесть 3/1 = 3 головки сыра каждая, то есть всего 21 головку сыра, при этом осталось 30-9 = 21 головка сыра. Это возможно. Если x=3, то y = 21/3 + 9 = 7 + 9 = 16. Тогда каждая мышка в первую ночь съела 9/3 = 3 головки сыра, а во вторую ночь каждая из 7 мышек съела 3/3 = 1 головку сыра. Всего во вторую ночь съели 7 головок сыра. После первой ночи осталось 16 - 9 = 7 головок сыра. Это возможно. Если x=9, то y = 21/9 + 9 = 7/3 + 9 = 34/3, что не является целым числом. Значит, этот вариант не подходит. Таким образом, возможные значения y: 30 и 16. Однако, так как во вторую ночь мышки доели оставшийся сыр, и сказано что мышек было меньше чем в первую ночь (7), то в первую ночь должно быть больше 7 мышек, значит x=9. Но это ведет к нецелому количеству головок сыра, что невозможно. Значит должно быть y=16, x=3 Тогда в погребе хранилось **16** головок сыра.