15. В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 8 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 15, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в четыре раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Решение: Пусть $$x$$ - количество мышек в первую ночь, а $$y$$ - количество сыра, которое съела каждая мышка в первую ночь. Тогда можем записать: $$x \cdot y = 8$$ (1) Во вторую ночь было 15 мышек, и каждая съела $$\frac{y}{4}$$ сыра. Пусть $$z$$ - количество сыра, которое осталось после первой ночи. Тогда можем записать: $$15 \cdot \frac{y}{4} = z$$ (2) Также мы знаем, что общее количество сыра в погребе равно $$8 + z$$. Выразим $$y$$ из уравнения (1): $$y = \frac{8}{x}$$. Подставим это значение в уравнение (2): $$15 \cdot \frac{8}{4x} = z$$, то есть $$\frac{30}{x} = z$$. Так как $$x$$ и $$z$$ должны быть целыми числами, $$x$$ может быть делителем числа 30. Возможные значения $$x$$: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Если $$x = 1$$, то $$y = 8$$, и $$z = 30$$. Тогда общее количество сыра $$8 + 30 = 38$$. Если $$x = 2$$, то $$y = 4$$, и $$z = 15$$. Тогда общее количество сыра $$8 + 15 = 23$$. Если $$x = 3$$, то $$y = \frac{8}{3}$$, что невозможно, так как сыр должен делиться поровну. Если $$x = 5$$, то $$y = \frac{8}{5}$$, что невозможно, так как сыр должен делиться поровну. Если $$x = 6$$, то $$y = \frac{4}{3}$$, что невозможно, так как сыр должен делиться поровну. Если $$x = 10$$, то $$y = \frac{4}{5}$$, что невозможно, так как сыр должен делиться поровну. Если $$x = 15$$, то $$y = \frac{8}{15}$$, что невозможно, так как сыр должен делиться поровну. Если $$x = 30$$, то $$y = \frac{4}{15}$$, что невозможно, так как сыр должен делиться поровну. Таким образом, возможны только два варианта: 38 и 23. Если в погребе было 38 головок сыра, то во вторую ночь осталось 30, и 15 мышек съели по $$\frac{8}{4} = 2$$ головки каждая, что в сумме 30, значит $$30=15*2$$. Если в погребе было 23 головки сыра, то во вторую ночь осталось 15, и 15 мышек съели по $$\frac{4}{4} = 1$$ головке каждая, что в сумме 15, значит $$15=15*1$$. Теперь надо проверить какое значение $$y$$ во второй день, первая ночь $$\frac{8}{x}$$ a вторая $$\frac{y}{4}$$. Т.е. $$\frac{y}{4} = 2$$. В таком случае $$y = 8$$ - что согласуется с уравнением. Вторая ночь $$\frac{y}{4} = 1$$. Тогда $$y = 4$$ - что согласуется с уравнением. Ответ: **23 или 38**.