В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 8 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 15, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в четыре раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть $$m$$ - количество мышек в первую ночь, а $$s$$ - количество сыра, которое съела каждая мышка в первую ночь. Тогда $$m \cdot s = 8$$. Во вторую ночь пришло 15 мышек, и каждая съела $$\frac{s}{4}$$ сыра. Пусть $$x$$ - общее количество головок сыра в погребе. Тогда после первой ночи осталось $$x-8$$ головок сыра. Во вторую ночь 15 мышек съели оставшийся сыр, то есть $$15 \cdot \frac{s}{4} = x-8$$. Выразим $$s$$ из первого уравнения: $$s = \frac{8}{m}$$. Подставим во второе уравнение: $$15 \cdot \frac{8}{4m} = x-8$$ $$\frac{30}{m} = x-8$$ Из условия, что все мышки в первую ночь ели поровну, следует, что $$m$$ - делитель числа 8. Значит, $$m$$ может быть равно 1, 2, 4 или 8. Если $$m=1$$, то $$30 = x-8$$, откуда $$x = 38$$. Если $$m=2$$, то $$15 = x-8$$, откуда $$x = 23$$. Если $$m=4$$, то $$7.5 = x-8$$, что невозможно, так как количество сыра должно быть целым числом. Если $$m=8$$, то $$3.75 = x-8$$, что также невозможно. Теперь рассмотрим два варианта: $$x=38$$ и $$x=23$$. Если $$x=38$$, то во вторую ночь мышки съели $$38-8 = 30$$ головок сыра. Тогда $$\frac{s}{4} = \frac{8}{4m}$$, и $$15 \cdot \frac{8}{4m} = 30$$, что верно. Если $$x=23$$, то во вторую ночь мышки съели $$23-8 = 15$$ головок сыра. Тогда $$\frac{s}{4} = \frac{8}{4m}$$, и $$15 \cdot \frac{8}{4m} = 15$$. Это возможно, только если $$m=2$$, но тогда первая ночь мышки съели $$2*s = 2*4 = 8$$, $$x=23$$. Но необходимо, чтобы $$m$$ было количеством мышек. По условию, на вторую ночь мышек было 15, а это значит, что и в первую ночь их тоже должно было быть целое число. Количество мышек в первую ночь должно делить 8. Из двух вариантов $$x=38$$ и $$x=23$$ только $$x=23$$ подходит. Тогда $$m=2$$, $$s=4$$, $$15 \cdot \frac{4}{4} = 15$$. Во вторую ночь съели весь оставшийся сыр $$23-8 = 15$$. **Ответ: 23 головки сыра**