В правильном тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 2, найдите расстояние между прямой, соединяющей середины рёбер AB и CD, и прямой AD.

Решение: 1. Определение ключевых точек и прямых: * Пусть $$M$$ - середина ребра $$AB$$, а $$N$$ - середина ребра $$CD$$. * Необходимо найти расстояние между прямой $$MN$$ и прямой $$AD$$. 2. Анализ взаимного расположения прямых: * Прямые $$MN$$ и $$AD$$ скрещивающиеся, так как они не лежат в одной плоскости и не параллельны. * Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. 3. Построение общего перпендикуляра: * Пусть $$P$$ - середина отрезка $$AD$$. * Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$. 4. Доказательство перпендикулярности: * $$MP$$ - медиана равнобедренного треугольника $$ABD$$, следовательно, $$MP \perp AD$$. * $$NP$$ - медиана равнобедренного треугольника $$ACD$$, следовательно, $$NP \perp AD$$. * Таким образом, $$AD$$ перпендикулярна плоскости $$MNP$$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. 5. Нахождение расстояния: * Расстояние между прямой $$MN$$ и прямой $$AD$$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $$P$$ на прямую $$MN$$. * Обозначим этот перпендикуляр $$PH$$, где $$H$$ лежит на $$MN$$. * $$MN$$ - средняя линия тетраэдра, поэтому $$MN = \frac{1}{2} BC = 1$$. * $$MP = NP = \sqrt{AB^2 - AP^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$$. * Треугольник $$MNP$$ - равнобедренный, поэтому $$PH$$ является также медианой, и $$H$$ - середина $$MN$$. * $$MH = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2}$$. 6. Вычисление PH: * Рассмотрим прямоугольный треугольник $$MPH$$. По теореме Пифагора: $$PH = \sqrt{MP^2 - MH^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{3 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$$ Ответ: $$\frac{\sqrt{11}}{2}$$ Разъяснение для ученика: Представь себе тетраэдр как пирамиду, у которой все четыре грани - треугольники, и все ребра имеют одинаковую длину. В этой задаче нам нужно найти кратчайшее расстояние между двумя линиями, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости (скрещивающиеся прямые). Мы находим середины ребер $$AB$$ и $$CD$$ (точки $$M$$ и $$N$$) и соединяем их прямой $$MN$$. Затем рассматриваем прямую $$AD$$. Наша задача - найти расстояние между $$MN$$ и $$AD$$. Для этого мы находим такую точку $$P$$ на $$AD$$, что $$MP$$ и $$NP$$ перпендикулярны $$AD$$. Затем опускаем перпендикуляр из $$P$$ на $$MN$$ (это будет отрезок $$PH$$). Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми $$MN$$ и $$AD$$. Чтобы найти длину $$PH$$, мы используем теорему Пифагора в треугольнике $$MPH$$, предварительно найдя длины $$MP$$ и $$MH$$. В итоге получаем, что расстояние между прямыми равно $$\frac{\sqrt{11}}{2}$$.