В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD все рёбра равны 4. Точка K — середина бокового ребра AP. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC. б) Найдите площадь сечения.

Обозначим через E середину ребра AB. Поскольку KE параллельна PB, точка E лежит в плоскости сечения. Через K проведём прямую, параллельную BC; она пересечёт ребро PC в точке F. Через E проведём прямую, параллельную BC; она пересечёт ребро CD в точке G. Искомое сечение — четырёхугольник KEGF: KE и GF параллельны PB, а EF и EG направлены параллельно BC.

Для вычисления площади удобно ввести координаты: A=(0,0,0), B=(4,0,0), C=(4,4,0), D=(0,4,0), P=(2,2,2√2). Высота пирамиды равна 2√2, поскольку расстояние от центра основания до вершины основания равно 2√2, а боковое ребро равно 4.

K — середина AP, поэтому K=(1,1,√2); E — середина AB, поэтому E=(2,0,0). Точка F лежит на PC и на прямой через K, параллельной BC. Решая пересечение, получаем F=(3,1,√2). Аналогично G=(2,4,0).

Векторы KE=(1,−1,−√2) и EF=(1,1,√2) перпендикулярны: их скалярное произведение равно 1−1−2? Чтобы проверить геометрию плоскости, используем её нормаль. Направления, заданные условием, — PB=(2,−2,−2√2) и BC=(0,4,0); плоскость через K имеет уравнение √2x+z=2√2. Поэтому пересечения с рёбрами следует определять именно этим уравнением: на AB получается E=(2,0,0), на CD — G=(2,4,0), на AP — K, а на PC получается F=(3,3,√2).

Тогда KE и GF параллельны PB, а KG и EF параллельны BC. Длины сторон, соответствующих направлениям PB и BC: KE=√8=2√2, KG=4. Эти направления перпендикулярны, значит площадь сечения равна произведению длин соседних сторон.

Ответ: площадь сечения равна 8√2.