В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) все рёбра равны 5. На рёбрах \(AS\), \(AB\) и \(BC\) взяты точки \(E\), \(F\), \(G\) соответственно так, что \(AE=AF=2\), \(BG=3\). Выберите произвольную точку, поместите в неё прямоугольную систему координат \(xyz\) и выполните задание: запишите уравнение плоскости \(EFG\) и вычислите расстояние от вершины \(D\) до данной плоскости. В ответе укажите полученное значение для расстояния.

Выберем координаты: \(A=(0,0,0)\), \(B=(5,0,0)\), \(C=(5,5,0)\), \(D=(0,5,0)\). Центр основания имеет координаты \((2.5,2.5,0)\). Высота пирамиды равна \(h=\sqrt{5^2-(5/\sqrt{2})^2}=5/\sqrt{2}\), поэтому \(S=(2.5,2.5,5/\sqrt{2})\).

Так как \(AE/AS=2/5\), получаем \(E=(1,1,\sqrt{2})\). Также \(F=(2,0,0)\), а из условия \(BG=3\) следует \(G=(5,3,0)\).

Направляющие векторы плоскости: \(\overrightarrow{EF}=(1,-1,-\sqrt{2})\), \(\overrightarrow{EG}=(4,2,-\sqrt{2})\). Их векторное произведение пропорционально \((\sqrt{2},-\sqrt{2},2)\), это нормаль плоскости. Подставляя точку \(F\), получаем уравнение \(\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+2z-2\sqrt{2}=0\).

Расстояние от \(D=(0,5,0)\) до плоскости:

\(d=\dfrac{|\sqrt{2}\cdot0-\sqrt{2}\cdot5+2\cdot0-2\sqrt{2}|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2+2^2}}=\dfrac{7\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{7}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{7}{2}\).