В правильной четырёхугольной призме ABCD A₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 4. Найди угол между прямыми: 1) AA₁ и BC₁; 2) BB₁ и AA₁; 3) AC и BB₁; 4) A₁B₁ и AC; 5) AC₁ и BB₁.

Поскольку все рёбра правильной четырёхугольной призмы равны, это куб. Обозначим его ребро через a. Введём координаты: A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), A₁(0, 0, a), B₁(a, 0, a), C₁(a, a, a).

1. Направляющие векторы AA₁ и BC₁: (0, 0, a) и (0, a, a). Их скалярное произведение равно a², а длины равны a и a√2. Поэтому cos α = a²/(a·a√2) = 1/√2, значит α = 45°.
2. BB₁ и AA₁ параллельны, поэтому угол между ними равен 0°.
3. Направляющие векторы AC и BB₁: (a, a, 0) и (0, 0, a). Их скалярное произведение равно 0, следовательно, угол равен 90°.
4. Направляющие векторы A₁B₁ и AC: (a, 0, 0) и (a, a, 0). cos α = a²/(a·a√2) = 1/√2, значит α = 45°.
5. Направляющие векторы AC₁ и BB₁: (a, a, a) и (0, 0, a). cos α = a²/(a√3·a) = 1/√3, поэтому α = arccos(1/√3) ≈ 54,7°.

Ответ: 1) 45°; 2) 0°; 3) 90°; 4) 45°; 5) arccos(1/√3) ≈ 54,7°.