В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 18, а боковое ребро равно \(\sqrt{106}\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Апофема правильного шестиугольника со стороной 18 равна:

\(r=\frac{18\sqrt3}{2}=9\sqrt3\).

Высота боковой грани найдётся по теореме Пифагора:

\(l=\sqrt{(\sqrt{106})^2-(9\sqrt3)^2}=\sqrt{106-243}\).

Получается отрицательное число под корнем, поэтому данные условия противоречивы: боковое ребро \(\sqrt{106}\approx10.3\) меньше апофемы основания \(9\sqrt3\approx15.6\), что невозможно для такой пирамиды.

Если в условии действительно указано «боковое ребро \(\sqrt{106}\)», площадь боковой поверхности определить невозможно из-за ошибки в исходных данных.