В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками $$A$$ и $$E_1$$.

У нас есть правильная шестиугольная призма, у которой все ребра имеют длину 1. Необходимо найти расстояние между вершиной нижнего основания $$A$$ и вершиной верхнего основания $$E_1$$.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора в пространстве. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками $$A$$, $$E$$, и $$E_1$$, где $$E$$ - вершина нижнего основания призмы, смежная с $$D$$. Тогда $$AE_1$$ является гипотенузой, а $$AE$$ и $$EE_1$$ - катетами.

В правильном шестиугольнике, сторона которого равна 1, расстояние между вершинами $$A$$ и $$E$$ можно найти, рассмотрев равнобедренную трапецию $$ABCE$$. Эта трапеция состоит из двух равносторонних треугольников со стороной 1 и прямоугольника со сторонами 1 и $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Таким образом, диагональ $$AE$$ равна $$\sqrt{3}$$ (т.к. $$\angle BAE = 90^{\circ}$$ и $$AE = AC*\sqrt{2}$$ , $$AC$$ - большая диагональ правильного шестиугольника, $$AC= \sqrt{3}$$). Другой способ: рассмотрим, что $$AE$$ состоит из двух высот равностороннего треугольника со стороной 1, то есть $$AE = 2 * \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$.

По условию задачи, все ребра призмы равны 1, следовательно, $$EE_1 = 1$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AEE_1$$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы ($$AE_1$$) равен сумме квадратов катетов ($$AE$$ и $$EE_1$$):

Подставляем известные значения:

Извлекаем квадратный корень:

Расстояние между точками $$A$$ и $$E_1$$ равно 2.