В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Сторона основания пирамиды равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Question

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Сторона основания пирамиды равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Фото задания

Accepted Answer

Дано:

Пирамида треугольная, правильная.
$$\angle$$ (боковое ребро, основание) = 60°.
Сторона основания $ a = 8 $ см.

Найти:

Площадь боковой поверхности $ S_{бок} $.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Найдем высоту основания (апофему равностороннего треугольника):
Высота основания $ h_{осн} $ равностороннего треугольника равна:
\[ h_{осн} = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} \text{ см.} \]
Найдем апофему пирамиды (высоту боковой грани):
В правильной пирамиде апофема — это высота боковой грани. В основании пирамиды проведем высоту $ h_{осн} $ из вершины основания к середине стороны основания. Точка пересечения апофемы и высоты основания — это центр основания (центр вписанной и описанной окружностей). Пусть высота пирамиды — $ H $, апофема — $ k $, боковое ребро — $ l $.
Известно, что угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°. В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром, высотой пирамиды и радиусом описанной окружности основания (R), этот угол равен 60°.
Радиус описанной окружности основания (R):
\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \text{ см.} \]
Найдем боковое ребро (l):
\[ \cos(60^{\circ}) = \frac{R}{l} \quad \Rightarrow \quad l = \frac{R}{\cos(60^{\circ})} = \frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \text{ см.} \]
Найдем апофему пирамиды (k):
В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды (H), апофемой (k) и радиусом вписанной окружности основания (r), угол между апофемой и плоскостью основания равен 30° (так как это средняя линия треугольника). Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°.
Для нахождения апофемы, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой (k), высотой пирамиды (H) и радиусом вписанной окружности (r). Угол между апофемой и плоскостью основания равен 30°.
Радиус вписанной окружности основания (r):
\[ r = \frac{h_{осн}}{3} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \text{ см.} \]
Найдем апофему (k):
\[ \tan(60^{\circ}) = \frac{H}{R} \quad \Rightarrow \quad H = R \tan(60^{\circ}) = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{8 \cdot 3}{3} = 8 \text{ см.} \]
Теперь найдем апофему k, используя прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды H, радиусом вписанной окружности r и апофемой k. Угол между апофемой и плоскостью основания — это угол между k и r, который равен 90° — 60° = 30°, или угол между k и H равен 90°, а угол между k и плоскостью основания α мы ищем.
Правильнее, в прямоугольном треугольнике, образованном апофемой k, высотой H и радиусом вписанной окружности r (где r — катет, прилежащий к углу между апофемой и плоскостью основания), мы имеем:
\[ \tan(\text{угол между апофемой и основанием}) = \frac{H}{r} \]
Этот угол не равен 60°. Угол 60° дан между боковым ребром и плоскостью основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой k, половиной стороны основания (a/2 = 4 см), и боковым ребром l. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — 60°. Это означает, что проекция бокового ребра на плоскость основания — это отрезок от вершины основания до центра основания, то есть радиус описанной окружности R. Значит, из треугольника с гипотенузой l и катетами H и R, мы имеем $$\cos(60^{\circ}) = R/l$$.
Для нахождения апофемы k, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды H, радиусом вписанной окружности r и апофемой k. В этом треугольнике, k — гипотенуза, H и r — катеты.
\[ k^2 = H^2 + r^2 \]
Мы уже нашли $ H = 8 $ см и $ r = \frac{4 \sqrt{3}}{3} $ см.
\[ k^2 = 8^2 + \left(\frac{4 \sqrt{3}}{3}\right)^2 = 64 + \frac{16 \cdot 3}{9} = 64 + \frac{16}{3} = \frac{192 + 16}{3} = \frac{208}{3} \]
$ k = \sqrt{\frac{208}{3}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 13}{3}} = 4 \sqrt{\frac{13}{3}} = \frac{4 \sqrt{39}}{3} \text{ см.} $
Найдем площадь боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.
\[ P_{осн} = 3a = 3 × 8 = 24 \text{ см.} \]
Полупериметр основания $ p = \frac{P_{осн}}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см.} $
\[ S_{бок} = p × k = 12 \text{ см.} × \frac{4 \sqrt{39}}{3} \text{ см.} = 4 × 4 \sqrt{39} = 16 \sqrt{39} \text{ см.}^2 \]

Проверка:

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — 60°. Пусть боковое ребро равно l. Тогда проекция этого ребра на основание — радиус описанной окружности R. $ R = l \cos(60^{\circ}) $. Мы нашли $ R = \frac{8 \sqrt{3}}{3} $.

\[ l = \frac{R}{\cos(60^{\circ})} = \frac{8 \sqrt{3}/3}{1/2} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \text{ см.} \]

Высота пирамиды $ H = l \sin(60^{\circ}) = \frac{16 \sqrt{3}}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16 × 3}{6} = 8 \text{ см.} $ (совпадает).

Теперь найдем апофему k. Апофема, высота H и радиус вписанной окружности r образуют прямоугольный треугольник. $ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \text{ см.} $.

\[ k^2 = H^2 + r^2 = 8^2 + \left(\frac{4 \sqrt{3}}{3}\right)^2 = 64 + \frac{16 × 3}{9} = 64 + \frac{16}{3} = \frac{192+16}{3} = \frac{208}{3} \]

$ k = \sqrt{\frac{208}{3}} = 4 \sqrt{\frac{13}{3}} = \frac{4 \sqrt{39}}{3} \text{ см.} $ (совпадает).

Площадь боковой поверхности: $ S_{бок} = p × k = 12 × \frac{4 \sqrt{39}}{3} = 16 \sqrt{39} \text{ см.}^2 $.

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна $ 16 \sqrt{39} \text{ см.}^2 $ .