4. В правильной треугольной пирамиде SABC отрезок АМ — биссектриса треугольника АВС, точка Х є АМ. Докажите, что прямая SX перпендикулярна прямой ВС.

Решение задания 4

Доказательство:

1. В правильной треугольной пирамиде SABC основание ABC — равносторонний треугольник, и все боковые ребра равны.

2. Так как AM — биссектриса равностороннего треугольника ABC, то AM также является медианой и высотой. Значит, AM ⊥ BC.

3. Пусть SO — высота пирамиды, опущенная из вершины S на основание ABC. Так как пирамида правильная, основание высоты O — центр треугольника ABC, который также является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис.

4. Так как O лежит на AM, то SO лежит в плоскости SAM.

5. Поскольку SO ⊥ (ABC), то SO ⊥ BC. Имеем, что BC ⊥ AM и BC ⊥ SO. Следовательно, BC перпендикулярна плоскости SAM.

6. Точка X лежит на AM, следовательно, SX лежит в плоскости SAM. Так как BC перпендикулярна плоскости SAM, то BC перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая SX.

7. Таким образом, SX ⊥ BC, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая SX перпендикулярна прямой BC.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что помнишь свойства правильной пирамиды и теорему о трех перпендикулярах.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Важно уметь применять теоремы стереометрии для доказательства перпендикулярности прямых и плоскостей.