В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна 6, а боковое ребро равно √21. Найдите угол между плоскостями SAB и ABC.

Дано: - Правильная треугольная пирамида SABC - Сторона основания AB = BC = AC = 6 - Боковое ребро SA = SB = SC = √21 Найти: Угол между плоскостями SAB и ABC Решение: 1. Опустим высоту SO из вершины S на плоскость основания ABC. Так как пирамида правильная, основание высоты O - это центр равностороннего треугольника ABC. 2. Найдем высоту AD равностороннего треугольника ABC: AD = (AB * sqrt(3)) / 2 = (6 * sqrt(3)) / 2 = 3 * sqrt(3) 3. Найдем AO - радиус описанной окружности вокруг треугольника ABC (2/3 от высоты AD): AO = 2/3 * AD = 2/3 * 3 * sqrt(3) = 2 * sqrt(3) 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO. По теореме Пифагора найдем SO: SO^2 = SA^2 - AO^2 = (√21)^2 - (2√3)^2 = 21 - 12 = 9 SO = √9 = 3 5. Найдем середину стороны AB, назовем её точкой M. Тогда SM - апофема грани SAB. AM = AB / 2 = 6 / 2 = 3 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM. OM - отрезок от центра основания до середины стороны основания, его длина 1/3 от высоты AD, то есть OM = AD/3 = sqrt(3). 7. Найдем SM: SM^2 = SO^2 + OM^2 = 3^2 + (sqrt(3))^2 = 9 + 3 = 12 SM = sqrt(12) = 2 * sqrt(3) 8. Рассмотрим прямоугольный треугольник SMO и найдем косинус угла SMO (это и есть угол между плоскостями SAB и ABC): cos(SMO) = OM/SM = sqrt(3)/(2*sqrt(3)) = 1/2 Угол между плоскостями SAB и ABC равен 60 градусов. Ответ: Угол между плоскостями SAB и ABC равен 60 градусам.