7. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6 см, а высота SO равна \(\sqrt{3}\) см. Найдите: a) Высоту CH треугольника ABC б) Отрезок OH - проекцию SH на плоскость основания в) Угол наклона боковой грани к основанию г) Апофему SH д) Площадь одной боковой грани е) Площадь боковой поверхности ж) Площадь основания з) Площадь полной поверхности пирамиды и) Боковое ребро пирамиды к) Угол наклона бокового ребра к основанию

Решение: **a) Высота CH треугольника ABC** В правильном (равностороннем) треугольнике высота также является медианой и биссектрисой. Высоту можно найти по формуле: \(CH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), где \(a\) - сторона треугольника. \(CH = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) см **б) Отрезок OH - проекция SH на плоскость основания** В правильной треугольной пирамиде основание высоты (точка O) является центром основания (центром вписанной и описанной окружности). OH - это радиус вписанной окружности, который равен трети высоты равностороннего треугольника: \(OH = \frac{1}{3} CH = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3}\) см **в) Угол наклона боковой грани к основанию** Угол наклона боковой грани к основанию - это угол SHO. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOH. Мы знаем SO (высота пирамиды) и OH. Тангенс угла SHO равен отношению противолежащего катета (SO) к прилежащему (OH): \(tg(\angle SHO) = \frac{SO}{OH} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1\) Значит, \(\angle SHO = arctg(1) = 45^\circ\) **г) Апофема SH** Апофема - это высота боковой грани. В прямоугольном треугольнике SOH (SO - высота пирамиды, OH - проекция апофемы на основание) SH является гипотенузой: \(SH = \sqrt{SO^2 + OH^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}\) см **д) Площадь одной боковой грани** Боковая грань - это равнобедренный треугольник. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту (апофему SH): \(S_{бок.грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}\) \(см^2\) **е) Площадь боковой поверхности** Площадь боковой поверхности - это сумма площадей всех боковых граней. Так как пирамида правильная, все боковые грани равны, и их три: \(S_{бок.пов.} = 3 \cdot S_{бок.грани} = 3 \cdot 3\sqrt{6} = 9\sqrt{6}\) \(см^2\) **ж) Площадь основания** Основание - равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: \(S_{осн.} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\) \(см^2\) **з) Площадь полной поверхности пирамиды** Площадь полной поверхности - это сумма площади основания и площади боковой поверхности: \(S_{полн.пов.} = S_{осн.} + S_{бок.пов.} = 9\sqrt{3} + 9\sqrt{6} = 9(\sqrt{3} + \sqrt{6})\) \(см^2\) **и) Боковое ребро пирамиды (SA)** Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. SO - высота пирамиды, OA - радиус описанной окружности вокруг основания, SA - боковое ребро. Радиус описанной окружности равен \(\frac{2}{3}\) высоты CH: \(OA = \frac{2}{3} CH = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) Тогда боковое ребро SA: \(SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 12} = \sqrt{15}\) см **к) Угол наклона бокового ребра к основанию (угол SAO)** Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. Тангенс угла SAO равен отношению противолежащего катета (SO) к прилежащему (OA): \(tg(\angle SAO) = \frac{SO}{OA} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\) Значит, \(\angle SAO = arctg(\frac{1}{2})\) **Ответ:** a) \(3\sqrt{3}\) см б) \(\sqrt{3}\) см в) \(45^\circ\) г) \(\sqrt{6}\) см д) \(3\sqrt{6}\) \(см^2\) е) \(9\sqrt{6}\) \(см^2\) ж) \(9\sqrt{3}\) \(см^2\) з) \(9(\sqrt{3} + \sqrt{6})\) \(см^2\) и) \(\sqrt{15}\) см к) \(arctg(\frac{1}{2})\)