В правильной треугольной пирамиде SABC точка S – вершина, точка M – середина ребра SA, точка K – середина ребра SB. Найдите расстояние от вершины C до прямой MK, если SC = 6, AB = 4.

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства правильной треугольной пирамиды и теорему о пропорциональных отрезках. 1. Определение правильной треугольной пирамиды: В правильной треугольной пирамиде основание – равносторонний треугольник, а боковые ребра равны. 2. Обозначения: - Пусть сторона основания ( AB = BC = CA = 4 ). - Боковое ребро ( SC = 6 ). - ( M ) – середина ( SA ), значит ( SM = MA = rac{SA}{2} ). - ( K ) – середина ( SB ), значит ( SK = KB = rac{SB}{2} ). 3. Подобие треугольников: - Рассмотрим треугольники ( SAB ) и ( SMK ). - Так как ( M ) и ( K ) – середины ( SA ) и ( SB ) соответственно, то ( MK ) – средняя линия треугольника ( SAB ). - Следовательно, ( MK parallel AB ) и ( MK = rac{1}{2} AB ). - Таким образом, ( MK = rac{1}{2} cdot 4 = 2 ). 4. Расстояние от точки до прямой: - Нам нужно найти расстояние от точки ( C ) до прямой ( MK ). - Обозначим это расстояние как ( h ). - Рассмотрим плоскость, в которой лежат точки ( C ), ( S ), и линия ( AB ). - Проведем высоту ( CH ) в треугольнике ( ABC ). Так как треугольник ( ABC ) равносторонний, высота является также медианой. - ( CH = rac{sqrt{3}}{2} cdot AB = rac{sqrt{3}}{2} cdot 4 = 2sqrt{3} ). 5. Параллельность плоскостей: - Так как ( MK parallel AB ), плоскость ( CMK ) параллельна плоскости ( CAB ). - Следовательно, расстояние от точки ( C ) до прямой ( MK ) можно найти, используя подобие треугольников ( CSK ) и ( CSB ). 6. Расстояние ( h ): - Рассмотрим проекцию точки ( C ) на плоскость ( SMK ). - Пусть ( h ) – расстояние от точки ( C ) до прямой ( MK ). - Поскольку ( MK ) – средняя линия треугольника ( SAB ), расстояние от ( C ) до ( MK ) равно расстоянию от ( C ) до ( AB ), то есть ( CH ). - Таким образом, расстояние от точки ( C ) до прямой ( MK ) равно ( CH ), то есть ( 2sqrt{3} ). 7. Итоговый ответ: - Расстояние от вершины ( C ) до прямой ( MK ) равно ( 2sqrt{3} ). Ответ: (2sqrt{3}) Развёрнутое объяснение: 1. Что такое правильная треугольная пирамида? Это пирамида, у которой основание – равносторонний треугольник, а все боковые ребра равны между собой. 2. Что такое средняя линия треугольника? Это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине. 3. Как найти высоту в равностороннем треугольнике? Высота в равностороннем треугольнике со стороной a равна (\frac{\sqrt{3}}{2} a\). 4. Зачем нужно подобие треугольников? Подобие треугольников позволяет устанавливать пропорциональные отношения между сторонами и высотами, что помогает найти неизвестные расстояния. В данной задаче мы использовали эти знания, чтобы шаг за шагом найти расстояние от вершины C до прямой MK. Важно помнить, что когда мы имеем дело с параллельными прямыми и плоскостями, мы можем использовать подобие для упрощения задачи и нахождения нужных расстояний.