В правильный треугольник со стороной 8см вписана окружность, и вокруг него описана окружность. Найдите площадь кольца, заданного окружностями.

Для правильного треугольника со стороной $$a$$, радиус вписанной окружности $$r$$ и радиус описанной окружности $$R$$ вычисляются по формулам: $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$ $$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$ В данном случае, $$a = 8$$ см. $$r = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$ $$R = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$ Площадь кольца равна разности площадей описанной и вписанной окружностей: $$S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = \pi ((\frac{8\sqrt{3}}{3})^2 - (\frac{4\sqrt{3}}{3})^2) = \pi (\frac{64 * 3}{9} - \frac{16 * 3}{9}) = \pi (\frac{192}{9} - \frac{48}{9}) = \pi \frac{144}{9} = 16\pi$$ Ответ: $$16\pi$$ кв. см