В прямоугольнике ABCD биссектриса угла А образует с диагональю BD углы, один из которых равен 105°. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник ABCD. Биссектриса угла A пересекает диагональ BD в точке E. Один из углов, образованных биссектрисой и диагональю, равен 105°.

Рассмотрим два случая:

1. ∠AEB = 105°

   Тогда ∠AED = 180° - 105° = 75° (как смежные).

   ∠DAE = 45° (так как AE - биссектриса угла A, а угол A = 90°).

   В треугольнике AED: ∠ADE = 180° - ∠DAE - ∠AED = 180° - 45° - 75° = 60°.

   Так как треугольник AOD равнобедренный (AO = OD как половины диагоналей прямоугольника), то ∠DAO = ∠ADO = 60°, следовательно, треугольник AOD - равносторонний, и ∠AOD = 60°.

   Тогда угол между диагоналями BOC = 60° (как вертикальные).

   Углы AOB и COD = 180° - 60° = 120° (как смежные с углом AOD).

   Ответ: 60° или 120°.

2. ∠AED = 105°.

   Тогда ∠AEB = 180° - 105° = 75°.

   В треугольнике ABE: ∠ABE = 180° - ∠BAE - ∠AEB = 180° - 45° - 75° = 60°.

   Тогда ∠ADB = 60°.

   Значит, ∠DAO = ∠ADB = 60° (как накрест лежащие).

   Треугольник AOD равнобедренный (AO = OD), следовательно, углы при основании равны, то есть ∠OAD = ∠ODA = 60°.

   Тогда ∠AOD = 180° - 60° - 60° = 60°.

   Значит, ∠BOC = ∠AOD = 60° (как вертикальные).

   Тогда ∠AOB = ∠COD = 180° - 60° = 120° (как смежные с углом AOD).

   Ответ: 60° или 120°.