В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника AOB, если ∠CAD = 30°, AC = 12 см.

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Нужно найти периметр треугольника AOB, если ∠CAD = 30°, AC = 12 см.

Решение:

1. Так как ABCD - прямоугольник, то его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, AO = OB = OC = OD.
2. Рассмотрим треугольник AOC. Так как AO = OC, то треугольник AOC - равнобедренный. По условию, ∠CAD = 30°. Тогда ∠ACO = 30° (т.к. AC - диагональ прямоугольника и углы CAD и ACB равны как накрест лежащие).
3. ∠AOC - внешний угол треугольника AOC, следовательно, ∠AOC = ∠CAD + ∠ACO = 30° + 30° = 60°.
4. Рассмотрим треугольник AOB. AO = OB, следовательно, треугольник AOB - равнобедренный. ∠AOB = ∠AOC = 60° (как вертикальные). В равнобедренном треугольнике AOB угол при вершине равен 60°, следовательно, углы при основании также равны, и треугольник AOB - равносторонний.
5. Так как AC = 12 см, то AO = OC = AC/2 = 12/2 = 6 см.
6. Периметр треугольника AOB равен 3 × AO = 3 × 6 = 18 см.

Ответ: 18 см.