В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника AOB, если \(\angle CAD = 30^\circ\), AC = 18 см. Ответ дайте в см.

Разберем решение этой задачи. 1. Свойство диагоналей прямоугольника: В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, \(AO = OC = BO = OD\). 2. Рассмотрим треугольник ADC: \(\angle CAD = 30^\circ\), \(\angle ADC = 90^\circ\) (так как ABCD - прямоугольник). Значит, \(\angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). 3. Найдем AD: В прямоугольном треугольнике ADC: \(\tan(\angle CAD) = \frac{CD}{AD}\) \(\tan(30^\circ) = \frac{CD}{AD}\) 4. Найдем AO: Так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, то \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9\) см. 5. Найдем \(\angle AOD\): \(\angle AOD = 2 \cdot \angle ACD = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\) (как центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол ACD). 6. Найдем AB: Рассмотрим треугольник AOB. Так как AO=OB, то треугольник равнобедренный. Тогда \(\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2}\) Так как \(\angle AOD\) и \(\angle AOB\) смежные, то \(\angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Значит, \(\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ\). В прямоугольном треугольнике ABC: \(\angle BAC = \angle CAD = 30^\circ\). Значит, \(\angle BCA = 60^\circ\). \(AB = AC \cdot \cos(\angle BAC) = 18 \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9\) см. 7. Найдем периметр треугольника AOB: \(P_{AOB} = AO + OB + AB = 9 + 9 + 9 = 27\) см. Ответ: 27