17. В прямоугольнике диагональ равна 16, угол между ней и стороной равен 30°, длина этой стороны равна 8. Найдите площадь прямоугольника, умноженную на √3.

Для решения данной задачи нам понадобится вспомнить свойства прямоугольника и тригонометрические функции.

1. Определим другую сторону прямоугольника.

Пусть диагональ прямоугольника равна $$d = 16$$, одна сторона равна $$a = 8$$, а угол между диагональю и этой стороной равен $$\alpha = 30^{\circ}$$. Тогда другая сторона прямоугольника $$b$$ может быть найдена с использованием косинуса угла $$\alpha$$:

$$cos(\alpha) = \frac{a}{d}$$

Или

$$cos(30^{\circ}) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$

Что верно.

Другую сторону можно найти через синус угла:

$$sin(\alpha) = \frac{b}{d}$$

Тогда

$$b = d \cdot sin(\alpha) = 16 \cdot sin(30^{\circ}) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$$

В данном случае прямоугольник является квадратом со стороной 8.

2. Найдем площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна:

$$S = a \cdot b = 8 \cdot 8 = 64$$

3. Найдем площадь прямоугольника, умноженную на \(\sqrt{3}\).

Площадь, умноженная на $$\sqrt{3}$$ , равна:

$$S' = S \cdot \sqrt{3} = 64 \sqrt{3}$$

Ответ: $$64\sqrt{3}$$