В прямоугольнике MECD ME < EC, биссектриса угла M образует с диагональю ED углы, один из которых равен 110°. Найдите меньший угол между диагоналями данного прямоугольника.

Обозначим точку пересечения биссектрисы угла M и диагонали ED буквой K. Пусть ∠MKE = 110°. Тогда ∠EKM = 110°, а ∠DME = 180° - 110° = 70°.

Биссектриса угла M делит угол M пополам, следовательно ∠DME = ∠EMC.

Так как MECD - прямоугольник, то ∠M = 90°, и биссектриса делит его пополам, то есть ∠DME = ∠EMC = 45°.

Противоречие. Значит ∠DME = 110°, следовательно ∠EMK = 180° - 110° = 70°.

Рассмотрим треугольник MED. ∠MED + ∠MDE + ∠DME = 180°. Так как ∠M = 90° и ME < EC, то ∠MDE > ∠MED. ∠EMK = 70°, следовательно, ∠MED = 90° - 70° = 20°.

∠MDE = 180° - ∠MED - ∠DME = 180° - 90° - 20° = 70°.

Рассмотрим треугольник MOD, где O - точка пересечения диагоналей. MO = OD, так как диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, треугольник MOD - равнобедренный, и ∠OMD = ∠ODM = ∠MDE = 20°.

Тогда ∠MOD = 180° - ∠OMD - ∠ODM = 180° - 2 * 20° = 140°.

Меньший угол между диагоналями равен смежному углу к ∠MOD.

∠EOD = 180° - ∠MOD = 180° - 140° = 40°.

Ответ: 40°