В прямоугольном параллелепипеде ABCD A1B1C1D1 ребра AB, AA1 и AD равны 6 см, 4 см и 5 см соответственно. Найдите длину вектора DM, где M – середина ребра A1B1.

Решение:

Введём систему координат. Пусть вершина \( A \) находится в начале координат \( (0; 0; 0) \). Оси координат направим вдоль рёбер параллелепипеда:

• Ось OX – вдоль ребра \( AD \).
• Ось OY – вдоль ребра \( AB \).
• Ось OZ – вдоль ребра \( AA_1 \).

Координаты вершин параллелепипеда:

• \( A = (0; 0; 0) \)
• \( B = (0; 6; 0) \)
• \( D = (5; 0; 0) \)
• \( A_1 = (0; 0; 4) \)
• \( B_1 = (0; 6; 4) \)

Точка \( M \) – середина ребра \( A_1B_1 \). Координаты \( M \):

\[ M = \left( \frac{0+0}{2}; \frac{0+6}{2}; \frac{4+4}{2} \right) = (0; 3; 4) \]

Вектор \( \vec{DM} \) имеет координаты:

\[ \vec{DM} = M - D = (0 - 5; 3 - 0; 4 - 0) = (-5; 3; 4) \]

Длина вектора \( \vec{DM} \) равна:

\[ |\vec{DM}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \]см.

Ответ: \( 5\sqrt{2} \) см.