В прямоугольном параллелепипеде $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ площадь боковой грани $$AA_1B_1B$$ равна $$40$$ см$$^2$$, длина ребра $$AD$$ равна $$7$$ см. Вычисли объём.

Для решения этой задачи нам нужно вспомнить формулу объема прямоугольного параллелепипеда и как она связана с площадью боковой грани и длиной ребра. 1. Вспомним формулу объема прямоугольного параллелепипеда: $$V = S_{осн} * h$$ где $$V$$ - объем, $$S_{осн}$$ - площадь основания, $$h$$ - высота параллелепипеда. 2. Определим высоту параллелепипеда: Площадь боковой грани $$AA_1B_1B$$ равна произведению длины ребра $$AA_1$$ (высоты параллелепипеда) на длину ребра $$AB$$. То есть: $$S_{AA_1B_1B} = AA_1 * AB$$ Отсюда выразим высоту $$AA_1$$: $$AA_1 = \frac{S_{AA_1B_1B}}{AB}$$ Нам известна площадь $$S_{AA_1B_1B} = 40$$ см$$^2$$. Но чтобы найти $$AB$$, нужно заметить, что $$AB = CD$$, и, так как перед нами прямоугольный параллелепипед, то $$AD = BC$$, а также $$AB = CD$$. 3. Найдем сторону основания: Поскольку у нас прямоугольный параллелепипед, то в основании лежит прямоугольник. Значит, $$AB$$ - это просто длина боковой стороны прямоугольника, который является основанием параллелепипеда. Нам дана длина $$AD = 7$$ см. Это значит, что $$BC = 7$$ см. 4. Вычислим высоту параллелепипеда: Теперь мы можем найти высоту параллелепипеда $$AA_1$$: $$AA_1 = \frac{40}{7}$$ см 5. Вычислим площадь основания параллелепипеда: Площадь основания $$S_{осн}$$ - это площадь прямоугольника $$ABCD$$: $$S_{осн} = AD * AB = 7 * AB$$ В нашем случае нужно уточнить, что мы ищем $$AB$$. У нас есть только $$AD = 7$$ см. Давайте пересмотрим условие, чтобы понять, как найти $$AB$$. Известно, что площадь боковой грани $$AA_1B_1B$$ равна 40 см$$^2$$. Мы знаем, что $$AA_1 * AB = 40$$. Мы также знаем, что $$AA_1 = \frac{40}{AB}$$. Так как ребро $$AD = 7$$ см, a площадь грани $$AA_1B_1B = 40$$ см$$^2$$, то $$AB$$ можно найти следующим образом: Из $$AA_1 * AB = 40$$ следует, что $$AB = \frac{40}{AA_1}$$. Мы знаем, что $$AD = 7$$ см. Площадь основания $$S_{осн} = AD * AB = 7 * AB$$. Чтобы найти объем, нам нужно узнать все стороны основания. Ошибка в том, что нужно сразу найти площадь основания через боковую грань. Площадь боковой грани $$AA_1B_1B = 40$$ см$$^2$$, и $$AD = 7$$ см. Высота $$AA_1$$ – это высота параллелепипеда, и она же является стороной боковой грани. Обозначим $$AB = x$$. Тогда $$V = S_{осн} * h = (AD * AB) * AA_1$$. Мы знаем, что $$AD = 7$$ см, и $$AA_1 * AB = 40$$ см$$^2$$. Значит, $$V = AD * (AA_1 * AB) = 7 * 40 = 280$$ см$$^3$$. Ответ: 280